서     론

   안구운동이 삼차원 운동을 한다는 것은 19세기 어두운 방에서 촛불을 바라본 후 그 잔상을 이용하여 안구운동의 특성을 연구한 Frans Cornelis Donders에 의하여 기술되었다. Johannes Benedict Listing은 이를 이용하여 특정한 참조위치로부터 시작하여 도달하는 모든 이차 안구위치는 안구의 한번에 회전으로 일어나고 그 축들은 한 평면 위에 놓인다는 'Listing의 법칙'을 발견하였다. 이후 전기안진기 등 안구운동을 정량적 측정이 가능해졌지만 삼차원 운동을 분석할 수 없는 한계가 있었다. 삼차원 분석이 가능한 방법으로 Robinson¹⁾에 의하여 자기탐지코일(Magnetic search coil)이 개발되었다. 자기탐지코일은 유도코일이 들어 있는 콘텍트렌즈를 눈에 착용하고 90°의 위상차를 가지는 수평, 수직의 Helmholtz 자기장 속에 머리를 고정한 후 코일에 유도된 전압을 안구위치에 비례하는 성분으로 분해하여 안구운동을 삼차원적으로 표시한다. 현재까지 가장 정확한 측정이 가능하여 정밀도(1분)뿐 아니라, 측정범위가 넓고(±40°), 정상적인 시각을 방해하지 않으며, 눈의 깜박거림에 의해 출력에 영향을 받지 않지만, 비싸고 피검자에게 침습적이며 자기장 필드 내에서만 측정이 가능하므로 계측공간이 제한되는 등의 단점이 있어 주로 연구목적으로 사용되고 있다.²⁾ 영상안진기(videooculography)는 적외선 카메라를 이용하여 얻은 영상을 분석하는 방법으로 아직까지 1~2도 정도의 해상도와 30~120 Hz 정도의 데이터 획득속도를 가지는 한계가 있지만, 비침습적이라서 임상에서 쉽게 응용이 가능하며 영상처리 소프트웨어와 카메라 속도 등 하드웨어가 급속히 발전하고 있어 안구운동의 측정법으로 유망하다. 최근 영상안진기로 동공과 홍채의 영상을 이용하여 수직, 수평 운동뿐 아니라 회선운동이 포함된 삼차원 분석이 가능하게 되었으며 상업적 제품도 출시되고 있다.³⁾ 그러나 아직까지 영상안진기는 회선성분 검출을 위한 영상처리의 오차뿐 아니라 삼차원 공간에서 회전을 하는 안구의 운동을 이차원 평면인 화면으로 표시하여 분석하므로 이 과정에서 수학적 오차도 발생된다. 이 글에서는 안구운동의 원리, 안구운동의 분석에 적용되는 수학 및 좌표계, 그리고 영상안진기를 이용한 삼차원 축분석에 대하여 설명하고자 한다. 이를 통하여 안구운동이라는 창문으로 전정기능이라는 목표물을 봐야하는 이비인후과 의사에게 전정안반사 이해에 도움이 될 것으로 기대한다. 

안구운동 표시에 적용되는 좌표계

   안구운동의 해석은 안구운동을 나타내는 세 가지 요소, 즉, 수직, 수평, 회선운동을 구현해 내는 것이다. 공간에서 안구의 위치를 표시하는 좌표계로 동좌표계인 Fick 좌표계 및 Helmholtz 좌표계와 회전벡터를 이용한 고정좌표계를 이용한다. Fick 좌표계 및 Helmhorltz 좌표계는 그림에 표시한 것과 같이 짐벌(gimbal)이 존재하며, 전자는 수직-수평-회선, 후자는 수평-수직-회선의 순서로 회전하여 삼차원 공간 내 위치를 표시할 수 있다(Fig. 1). 이는 선행 짐벌의 회전에 따라 다음 축이 이동하는 동좌표계이며,^4,5) 따라서 회선운동은 시선축의 회전운동이므로 시선이 변함에 따라서 회전축도 이동하게 된다. 따라서 각각 x, y, z 축으로 일정한 각도의 회전이 일어나더라도 회전 순서에 따라 위치가 달라지는 비가역성(non-commutativity) 및 가회선(false torsion) 현상이 일어난다. 비가역성을 도식적으로 나타낸 그림(Fig. 2)을 보면 공간 내에서 z축으로 +90°, y축으로 -90°만큼 같은 양으로 회전시키더라도 순서가 z-y(A), y-z(B)에 따라 최종위치가 달라지며, 실제 (A)와 동일한 최종위치를 얻기 위해서는 (C)와 같이 y축으로 +90° 회전 후 x축으로 -90° 회전을 시켜야 가능하다. 또한 선행 축변화가 다음 축변화에 영향을 미치므로 회전 순서에 따라 실제 일어나지 않은 가회선이 발생한다(Fig. 3).^1,4)
   이를 수학적으로 증명하면, 정면을 주시할 때 시선의 방향인 x축에서 순수 수평(R₃), 수직(R₂), 회선(R₁)운동은 다음과 같은 회전행렬 R로 표시할 수 있다. 

  

   이때 삼차원 공간 내 특정위치가 수직 θ, 수평 Φ, 회선 Ψ 이동한 좌표는 각각 Fick 및 Helmholtz 좌표의 정의에 의하여 Box 안의 내용과 같다. 

   여기에 참조안위(reference position)로부터 수평 왼쪽 15°, 수직 아래쪽 25°를 회전한 운동하였을 경우 안구의 위치는, (θ_F,Φ_F,ψ_F)=(15, 25, 0)이므로 Fick 좌표계에서는,

      

   Helmholtz 좌표계에서는,

      

로 다르게 나타난다. 
   이처럼 동좌표계를 적용할 경우 이와 같은 비가역성 및 가회선이 발생되어 실제로는 짐벌이 존재하지 않는 안구의 운동과 차이가 있다. 안구운동은 공간 내 세 축을 따라 순차적으로 움직여 목표위치에 도달하는 것이 아니라, 여섯 개의 외안근 힘의 합으로 형성되는 하나의 회전축을 중심으로 일어나는 한 번의 회전이다. 따라서 이를 이용하는 것이 안구의 회전을 표시하는 효율적 방법이 된다. 여기서 시선축 방향의 안구회전인 회선성분도 x축의 성분으로 표시할 수 있다. 이처럼 하나의 회전축으로 회전을 표시하는 좌표계는 위의 동좌표계처럼 짐벌에 의한 연속된 세 개의 회전에 의하여 안구운동을 표시하지 않고, 고정된 좌표계 속에서 하나의 회전축에 의하여 안구의 삼차원 운동을 구현하는 고정좌표계로 이용되었고,⁶⁾ 이후 Donder의 법칙 및 Listing의 법칙이 고정좌표계에서 구현되는 것이 확인되었다.⁷⁾ 

고정좌표계；회전벡터와 사원수

   위에서 설명한 바와 같이 회전행렬은 아홉 개의 값을 가지고 있고, 계산순서에 따라 다른 값을 보여 회전의 시퀀스에 의하여 값이 달라지는 반면, 회전벡터(rotation vector)를 이용한 표시는 공간에서 일어나는 삼차원 회전을 축을 중심으로 한 운동으로 표현되고 각 축의 회전은 하나의 성분으로 표시되어 효과적이다. 고정좌표계에서 삼차원 회전을 분석하는 방법으로 회전벡터와 사원수(quaternion)가 있다.⁶⁾ 1843년 Hamilton에 의하여 발표된 사원수는 복소수가 이차원 평면에 대응되어 회전을 표시하는 것과 같은 원리로 삼차원 공간에 대응하는 복소수와 유사한 수를 표시할 수 있다. 그러나 이차원 복소수평면이 하나의 실수부와 하나의 허수부로 구성된 것과 달리 사원수는 하나의 실수부와 세 개의 허수부로 구성되어 있다. 즉, q＝a＋b×i＋ c×j＋d×k의 실수 a, b, c, d와 허수 i, j, k 로 표시되고, 허수부는 i×i＝j×j＝k×k＝-1, i×j＝k, j×i＝-k, j×k＝i, k×j＝-i, k×i＝j, i×k＝-j가 성립한다. 이 때 실수부 a를 스칼라성분, 허수부 b×i＋c×j＋d×k가 벡터성분이 되며, a=cos(θ/2), (b²+c²+d²)1/2=sin(θ/2)이고, 벡터 (b, c, d)가 회전축 n과 평행이 되도록 하면 사원수 q는 회전축 n 주변을 θ 각도만큼 회전시킨 것을 나타내게 된다. 즉, 삼차원 공간에서 (θ, n)으로 표시되는 임의 회전축 n에 대한 회전은 사원수 공간의 단위 사원수 [cos(θ/2), sin(θ/2)n]와 같다는 것이며, 이차원 평면에서 θ만큼 회전한 것이 결국 복소평면의 단위복소수 (cosθ, sinθ)에 대응되는 것과 유사한 결과이다.⁴⁾ 회전벡터는 사원수의 스칼라성분을 제거하고 벡터부를 채용한 것과 같다. 따라서 세 개의 요소를 가지며 회전행렬의 단점을 극복할 수 있다. 그림에 표시한 것과 같이 안구가 참조위치에서 이차위치에 도달하기 위한 회전축과 회전각이 있고, 회전각도 θ와 단위벡터 n이 존재한다면, θn이 axis angle, ntan(θ/2)가 회전벡터가 된다. 
   안구운동에서 회전행렬과 회전벡터의 관계는 1989년 Haustein에 의하여 다음과 같이 기술되어 있다.⁷⁾

  

   예를 들어 고정좌표계에서 오른 손의 법칙을 적용하였을 때, 수직 아랫쪽 20도 회전 r_p와 수평 왼쪽 10도 회전 r_q의 회전벡터는 다음과 같이 표시된다. 

  

   이러한 고정좌표계에서 회전벡터를 이용한 안구운동의 삼차원 분석은 자기탐지코일에서는 Tweed 등⁶⁾이, 영상안진기에서는 Imai 등⁸⁾이 처음 적용하였다. 

영상안진기에서 삼차원 축분석

   자기탐지코일은 공간에 직각 배열된 자기장에 걸리는 전압으로 삼차원적 정보를 얻는 것과 달리 영상안진기는 이차원 평면인 화면으로 얻은 안구운동 영상을 분석하게 된다. 회전벡터를 이용한 삼차원 축분석은 앞서 설명한 바와 같이 동좌표계의 단점을 극복할 수 있다는 것이지만, 이론적으로 한 대의 카메라에서 촬영한 영상으로 얻은 이차원 평면좌표에서 삼차원 공간좌표를 획득하는 것은 불가능하다. 그러나 안구가 1) 안와에서 ball-socket 관계에 의한 회전운동 외에 상하, 좌우, 전후 직선운동이 미미하고, 2) 외안근에 의한 안구의 회전축들이 한 점을 중심으로 배열되고, 3) 카메라가 안구에 수직인 평면으로 투사된다는 조건이 성립할 경우 두 개의 이차원 영상좌표, 중심점, 안구의 반지름을 이용하여 삼차원으로 재구성이 가능하다.⁸⁾ 여기서 안구운동의 회전중심은 동공이 원을 형성하고 가장자리로 갈수록 장경과 단경을 가지는 타원을 형성하는 원리로 구할 수 있다. 화면 가장자리에서 타원을 형성한 동공의 단경의 연장선은 이론상 한점을 통과하는 것에서 중심점을 구하고 이를 참조위치의 중심점의 x,y점으로 한다. 또한 화면상 동공중심이 이동한 거리 r, 안구의 회전각 θ에서 다음과 같이 안구의 반지름 R을 구한다(Fig. 4).

  

   여기서 안구는 반지름 R을 가지고 영상에서 좌표 (0,0)을 중심으로 회전하는 구(球)이며 공간 내 안구위치의 좌표는 (x y(R²-x²-y²)^1/2)로 표시된다. 따라서 참조안구위치에서 공간좌표는 (0 0 R)이 되며, 실제 안구운동에서 존재하지 않지만 여기서 수평 좌측으로 90°회전시킨다고 가정하면 이때의 좌표는 (R 0 0)로 표시된다. 이때 영상에서 두 점(이를 테면 동공의 중심점과 홍채의 한점)의 이차원 좌표를 얻어 두개의 삼차원 좌표를 적용하면 각각 동공(a₁ a₂ a₃)과 홍채(b₁ b₂ b₃)의 좌표를 구할 수 있고 여기서 회전의 중심(0,0,0)부터 두 개의 벡터를 얻을 수 있다. 그리고 다음과 같이 두 벡터의 cross product를 구하면, 삼차원 위치를 표시할 수 있는 회전행렬이 얻어진다.

  
   (단, 두 벡터는 평행할 수 없으므로 cross product는 영이 되지 않음.) 

   영상안진기로 얻어지는 연속되는 영상을 이용하여 위에 소개된 Haustein(1989)¹¹⁾에 의한 방법으로 두 회전행렬의 행렬곱에서 회전벡터(r¹ r² r³)를 구할 수 있다. 즉 프래임 단위로 분해된 영상이 각각의 앞 영상에 비하여 안구의 위치가 어떻게 변경되었는지를 회전벡터로 구할 수 있으며 이때 벡터의 방향이 회전축, 크기가 회전량을 나타낸다. 또한 안구운동의 속도는 좌표속도가 아닌 각속도로 안구운동의 속도를 구할 수 있다. 따라서 기술적으로 화면에서 degree/pixel로 표시되는 calibration의 과정이 필요없으며, 이론적으로 동공이 중심점에서 멀어질 때 커지는 가회선이 발생하지 않는다.

정     리

   회전운동인 안구운동을 이차원 영상에 투영하여 여기에서 수평, 수직, 회선의 세 성분을 분석하여 정량화하는 것은 일정한 좌표계를 필요로 한다. 기존에 사용되는 Fick 또는 Helmholtz좌표계와 같은 동좌표계를 이용한 분석법은 교환법칙이 성립하지 않으며(non-commutativity), 적용하는 방법에 따라 가회선(false torsion)을 발생시키고, 시선의 위치이동이라는 직선벡터를 미분하여 속도 및 가속도를 계산하므로써, 회전운동을 분석하는데 있어 수학적 오류가 있다.⁷⁾ 반면 오일러법칙에 근거하면 안구의 위치이동은 한 축을 중심으로 한 번의 회전으로 일어나게 된다. 따라서 고정좌표계에서 회전벡터를 이용할 경우 안구운동을 구운동 자체로 구현이 가능하여 동좌표계에서 발생되는 수학적 오류와 이에 따른 계산상의 오차를 없앨 수 있다. 영상안진기는 몇 가지 문제점에도 불구하고 임상적 유용성이 높고 정보기술과 함께 급속한 개선과 발전이 기대되는 만큼 원리에 대한 이해가 필요하다고 생각한다. 

1. Robinson DA. A method of measuring eye movement using a scleral search coil in a magnetic field. 1EEE Trans Biomed Eng 1963;10:137-45.

2. Lee SC. Recording method of eye movement. J Korean Bal Soc 2003;7(1):50-2.

3. Choung YH. Physiology and recording methods of eye movement. J Korean Bal Soc 2004;3(2):245-53.

4. Haslwanter T. Mathematics of three-dimensional eye rotations. Vision Res 1995;35(12):1727-39. 

5. Tweed D, Vilis T. Implications of rotation kinematics for the oculomotor system in three dimensions. J Neurophysiol 1987;58(4):832-49. 

6. Tweed D, Cadera W, Vilis T. Computing three-dimensional eye position quaternions and eye velocity from search coil signals. Vision Res 1990;30(1):97-110.

7. Haustein W. Considerations on Listing's Law and the primary position by means of a matrix description of eye position control. Biol Cybern 1989;60(6):411-20. 

8. Imai T, Takeda N, Morita M, Koizuka I, Kubo T, Miura K, et al. Rotation vector analysis of eye movement in three dimensions with an infrared CCD camera. Acta Otolaryngol 1999;119(1):24-8.